BARISAN DAN DERET BILANGAN



Barisan dan Deret Aritmatika


 1. Barisan Aritmetika 

      Barisan aritmetika sering juga disebut barisan hitung adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembeda, (biasanya disimbolkan dengan b). Jadi pembeda merupakan selisih antara dua suku yang berturutan. Suku pertama barisan aritmetika ditulis U1, sedangkan suku ke-n dari suatu barisan bilangan aritmetika dituliskan sebagai Un.
Contoh: 
1)  Barisan aritmetika : 3, 7, 11, 15,... 
Suku pertamanya u1 = 3.  Selisih antara dua suku yang berturutan adalah  
 7 -3 = 11-7 = 15-11 = 4. Jadi pembedanya adalah 4.  
2)  Barisan bilangan: 26, 23, 19, 16,... 
Suku pertamanya u1 = 26. Selisih antara dua suku yang berturutan adalah  23 -26 = 
19-23 = 16-19 = -3. Jadi pembedanya adalah -3. 

2. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika 

          Untuk menentukan suku ke-n suatu barisan bilangan aritmetika dimana n relatif besar tentunya akan sulit jika kita harus menuliskan seluruh anggota barisan bilangan tersebut. Untuk itu diperlukan cara untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan bilangan aritmetika dengan n sembarang bilangan asli. Misal suku pertama suatu barisan aritmetika adalah a dengan pembeda b, maka barisan 
aritmetika tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :

a, a + b, a + b + b, a + b + b + b, …. 

atau dapat dituliskan 
a, a + b, a + 2b , a + 3b, … 

Dari barisan di atas, jika suku-1 ditulis U1, suku ke-2 ditulis U2,….dst maka diperoleh 
barisan U1, U2, U3, .....
Selisih antara dua suku yang berturutan U2 - U1 = U3 - U2 = b 
Sehingga dapat dibuat tabel berikut: 

Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah:


Keterangan : 
un = suku ke-n 
u1 = suku pertama 
a = suku pertama 
b = pembeda

Contoh : 

1. Tentukan suku ke-21 dari barisan aritmetika : 17, 15, 13, 11,… 

    Penyelesaian: 

    Diketahui a = 17, b = -2, dan n = 21, maka U21 = 17 + (21-1)(-2) = -23 

2. Diketahui suku ke-1 dari barisan aritmetika adalah 6 dan suku kelimanya 18, 
    tentukan pembedanya.
    Penyelesaian: 

    Diketahui a = 6, dan U5 = 18 Un = a + ( n – 1) b 
    U5 = 6 + (5 – 1) b 
    18= 6 + 4b 
    4b = 12 
    b = 3 
  Jadi pembedanya adalah 3. 

       Barisan aritmetika yang bilangan-bilangannya semakin besar nilainya disebut barisan aritmetika naik, sedangkan barisan aritmetika yang bilangan-bilangannya semakin kecil nilainya disebut barisan aritmetika turun. Pembeda pada barisan aritmetika naik bernilai positif, sedangkan pembeda pada barisan aritmetika turun adalah negatif. 

Contoh:
 1) 2, 5, 8, 11, 14,….. , pembedanya adalah 3 (positif), jadi barisan tersebut merupakan
barisan naik.
2) 45, 43, 41, 39,….., pembedanya adalah -2 (negatif), jadi barisan tersebut merupakan
barisan turun. 

3. Deret Aritmetika  

     Perhatikan barisan aritmetika 3,    5,    7,    9, …. Dari barisan aritmetika tersebut dapat dibuat suatu deret aritmetika :  
Sn = 3 + 5 + 7 + 9 +….  Dengan demikian jika diketahui suatu barisan bilangan aritmetika : u1, u2,, u3,, … un 
maka dapat dibuat suatu deret aritmetika:   
Sn  = u1 + u2 + u3 +….+ un  
Bagaimanakah cara menentukan rumus Sn?  
Perhatikan bahwa:
u1 = a,  u2= a + b 
u3,= a+2b 
…………. 
un = a + (n-1)b 
Maka diperoleh 

atau
Rumus di atas menyatakan jumlah n suku pertama dari deret  aritmetika. 

Untuk setiap deret aritmetika berlaku : 


 Dapat di simpulkan rumus deret aritmatika sebagai berikut:


Pada suatu deret aritmetika, jika pembeda barisan positif maka deret yang terbentuk disebut deret aritmetika naik dan jika pembeda barisan negatif maka deret yang terbentuk disebut deret aritmetika turun.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut : 

Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri 

      Barisan geometri atau  barisan ukur adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan dengan suatu bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding atau rasio, (biasanya disimbolkan dengan p). 
Pada barisan geometri berlaku:  


2. Deret Geometri  

     Perhatikan barisan geometri 2, 4, 8, 16,….Jika suku-suku dari barisan geometri tersebut dijumlahkan maka akan diperoleh deret geometri. Jadi 2 + 4 + 8 + 16 +…… adalah deret geometri. Secara umum dapat dikatakan bahwa, jika diketahui n suku yang pertama dari suatu barisan geometri, maka jumlah n suku yang pertama diartikan sebagai deret geometri. 


Video Pembelajaran Barisan dan Deret Bilangan